heine 定理也就是海涅定理，也叫归结原则，是数学分析里面连接函数极限和数列极限的核心定理，核心结论就是函数在某一点存在极限的充要条件是，任意一列收敛到该点且各项不等于该点的数列，对应的函数值数列都收敛到同一个极限值，这个定理最大的价值是把连续变化的函数极限，转化成离散的数列极限来研究，证明函数极限不存在的时候，最常用的方法就是找两列收敛到同一点的数列，让对应的函数数列极限不相等，直接利用 heine 定理否定函数极限，同时它也可以用来证明函数极限的四则运算法则 夹逼准则 柯西准则，是一元函数极限章节非常关键的桥梁定理，很多初学高数的同学容易忽略一个前提条件，就是数列里面的每一项都不能等于极限点，这个条件不能漏掉，一旦数列里面出现等于该点的项，heine 定理的结论就不再适用。
定理正式表述
设函数 f x 在点 x0 的某去心邻域 U° x0 内有定义
lim x 趋向 x0 f x 等于 A 成立的充分必要条件是
对任何满足 xn 趋向 x0 并且 xn 不等于 x0 的数列 xn，都有 lim n 趋向无穷 f xn 等于 A
拓展版本
这个定理还可以拓展到单侧极限，也就是 x 趋向 x0 正 以及 x 趋向 x0 负的情况，对应数列需要从右侧趋近或者左侧趋近 x0，同样要求 xn 不等于 x0
证明思路拆解
必要性
已知函数极限 lim x 趋向 x0 f x =A，根据函数极限定义，对任意给定的正数 ε，存在正数 δ，当 0 小于 x 减 x0 绝对值小于 δ 的时候，f x 减 A 绝对值小于 ε
现在任取数列 xn 趋向 x0 且 xn 不等于 x0，根据数列极限定义，对上面这个 δ，存在正整数 N，当 n 大于 N 的时候，0 小于 xn 减 x0 绝对值小于 δ，代入就得到 f xn 减 A 绝对值小于 ε，所以 f xn 趋向 A
充分性
已知任意满足 xn 趋向 x0 且 xn 不等于 x0 的数列，f xn 都趋向同一个 A，用反证法，如果函数极限不等于 A，那么就可以构造出一列 xn，xn 趋向 x0，xn 不等于 x0，但是 f xn 不收敛到 A，和已知条件矛盾，所以函数极限等于 A
典型应用步骤
第一步 判断题目目标，是证明极限存在还是证明极限不存在
第二步 如果证明极限不存在，构造两列不同数列，两列 xn 都趋近同一个 x0，xn 不等于 x0，但是 f xn 得到两个不同极限
第三步 如果证明极限存在，利用 heine 定理，把函数极限问题转化成已经掌握的数列极限结论
第四步 检查前提，确认所有数列 xn 都不等于 x0，避免违反 heine 定理使用条件
经典例题说明
例子 证明 lim x 趋向 0 sin 1/x 极限不存在
取数列 xn 等于 1 除以 2nπ，xn 趋向 0，xn 不等于 0，sin 1/xn 等于 sin 2nπ 等于 0，极限是 0
再取 yn 等于 1 除以 2nπ 加 π/2，yn 趋向 0，yn 不等于 0，sin 1/yn 等于 sin 2nπ 加 π/2 等于 1，极限是 1
两列数列极限不一样，根据 heine 定理，函数在 x=0 处极限不存在
相关对比表格
| 项目 | 函数极限 | 数列极限 | heine 定理作用 |
|---|---|---|---|
| 变化方式 | x 连续趋近 x0 | n 离散增大，xn 趋近 x0 | 建立二者等价关系 |
| 研究对象 | 函数 f x | 数列 f xn | 互相转化证明 |
| 前提要求 | 去心邻域有定义 | xn 不等于 x0 | heine 定理强制要求 xn 不等于 x0 |
易错要点
第一 不能漏掉 xn 不等于 x0 这个条件，heine 定理是去心极限，也就是不考虑 x=x0 这一点的函数值
第二 必须是任意数列，不是随便找一列数列收敛就可以，只找到一列收敛不能证明函数极限存在，这是高频错误
第三 heine 定理只适用于一元函数极限，多元函数不能直接照搬这个结论
第四 反证法证明充分性是考试大题常考书写内容，需要严格按照 ε δ 语言书写
【常见问题】
问题 1 heine 定理里面为什么要求 xn 不等于 x0
回答 1 heine 定理研究的是函数在 x0 点的去心极限，极限本身不关心 x=x0 处函数有没有定义以及函数值是多少，所以 heine 定理要求数列 xn 不等于 x0，如果数列里面 xn 等于 x0，就不再满足 heine 定理的前提条件，结论失效
问题 2 找到一列数列 xn 趋向 x0 并且 f xn 收敛，可以用 heine 定理证明函数极限存在吗
回答 2 不可以，heine 定理要求的是任意这样的数列都收敛到同一个极限，仅仅找到一列数列收敛，不满足 heine 定理全部条件，不能推出函数极限存在，这是 heine 定理最常见误区
问题 3 heine 定理能不能用来证明单侧极限
回答 3 heine 定理可以拓展用来证明单侧极限，右侧极限对应的数列需要全部从 x0 右侧趋近 x0，左侧极限对应的数列全部从 x0 左侧趋近 x0，依然保持 xn 不等于 x0，heine 定理的等价逻辑依然成立
【免责申明】
本内容为数学分析学习参考资料，定理表述依据通用高数与数学分析教材，不同教材记号和书写细节可能存在差异，正式考试作答请以学校指定教材与考纲为准，本资料不保证适配所有考试阅卷标准。