【不定积分的导数怎么求】在微积分的学习中，学生常常会遇到“不定积分的导数”这一问题。其实，这涉及到了微积分的基本定理——牛顿-莱布尼兹公式。理解这个问题的关键在于掌握“导数”与“积分”的关系。
一、核心概念总结
| 概念 | 定义 | 说明 |
| 不定积分 | ∫f(x)dx = F(x) + C | 表示所有原函数的集合，C为常数 |
| 导数 | f’(x) = d/dx [f(x)] | 函数的变化率，表示斜率或变化速度 |
| 微积分基本定理 | 如果F(x)是f(x)的一个原函数，则∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) | 连接了积分和导数的关系 |
二、不定积分的导数怎么求？
根据微积分基本定理，如果一个函数f(x)存在原函数F(x)，那么：
> d/dx [∫ₐˣ f(t)dt] = f(x)
也就是说，对不定积分（上限为变量x）求导，结果就是被积函数本身。
举例说明：
1. 求 d/dx [∫₀ˣ sin(t) dt
- 答案：sin(x)
2. 求 d/dx [∫₁ˣ (t² + 3t) dt
- 答案：x² + 3x
3. 求 d/dx [∫₃ˣ e^t dt
- 答案：e^x
三、特殊情况与注意事项
| 情况 | 说明 |
| 积分上下限均为变量 | 使用链式法则，例如 d/dx [∫ₐᵘ(x) f(t)dt] = f(u(x))·u’(x) |
| 积分下限为变量 | 如 d/dx [∫ₓᵇ f(t)dt] = -f(x) |
| 复杂函数作为积分上限 | 需要结合复合函数求导法则进行处理 |
四、总结
- 不定积分的导数，本质上是对其上限变量求导。
- 根据微积分基本定理，其结果等于被积函数本身。
- 若积分上限为变量函数，则需使用链式法则进行求导。
- 掌握这些规则，有助于快速解决类似题目。
通过以上内容的梳理，我们可以清晰地理解“不定积分的导数怎么求”这一问题，并在实际应用中灵活运用相关知识。