大家好,小问来为大家解答以上问题。正定矩阵的性质，正定矩阵这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、　　一． 定义　　因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:　　设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

2、　　相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：　　令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。

3、　　例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。

4、　　二． 正定矩阵的一些判别方法　　由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：　　n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

5、　　证明：若 ， 则有　　∴λ＞0　　反之，必存在U使　　即　　有　　这就证明了A正定。

6、　　由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

7、　　2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

8、　　证明：A正定　　二次型 正定　　A的正惯性指数为n　　3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。

9、　　证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使　　令 则　　令 则　　反之，　　∴A正定。

10、　　同理可证A为半正定时的情况。

11、　　4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。

12、　　证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定　　∴ 是正定二次型　　现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有　　∴　　∴A正定　　∴存在可逆矩阵C ，使　　5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。

13、　　证明：必要性：　　设二次型 是正定的　　对每个k,k=1,2,…,n,令　　，　　现证 是一个k元二次型。

14、　　∵对任意k个不全为零的实数 ，有　　∴ 是正定的　　∴ 的矩阵　　是正定矩阵　　即　　即A的顺序主子式全大于零。

15、　　充分性：　　对n作数学归纳法　　当n=1时，　　∵ ， 显然 是正定的。

16、　　假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

17、　　令 ， ，　　∴A可分块写成　　∵A的顺序主子式全大于零　　∴ 的顺序主子式也全大于零　　由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使　　令　　∴　　再令 ，　　有　　令 ，　　就有　　两边取行列式，则　　由条件 得a＞0　　显然　　即A合同于E ，　　∴A是正定的。

18、　　三． 负定矩阵的一些判别方法　　1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

19、　　2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

20、　　3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足　　，　　即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

21、　　由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

22、　　四．半正定矩阵的一些判别方法　　1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

23、　　2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

24、　　3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

25、　　注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如：　　矩阵 的顺序主子式 ， ， ，　　但A并不是半正定的。

26、　　关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

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