正定矩阵的性质(正定矩阵)

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导读 大家好,小问来为大家解答以上问题。正定矩阵的性质,正定矩阵这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!1、  一. 定义  因为正定...

大家好,小问来为大家解答以上问题。正定矩阵的性质,正定矩阵这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧!

1、  一. 定义  因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:  设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定(半正定)二次型。

2、  相应的,正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义为:  令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 >0(≥0)则称A正定(半正定)矩阵;反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 <0(≤ 0), 则称A负定(半负定)矩阵。

3、  例如,单位矩阵E 就是正定矩阵。

4、  二. 正定矩阵的一些判别方法  由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法:  n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

5、  证明:若 , 则有  ∴λ>0  反之,必存在U使  即  有  这就证明了A正定。

6、  由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负。

7、  2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

8、  证明:A正定  二次型 正定  A的正惯性指数为n  3.n阶对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ;进一步有 (B为正定(半正定)矩阵)。

9、  证明:n阶对称矩阵A正定,则存在可逆矩阵U使  令 则  令 则  反之,  ∴A正定。

10、  同理可证A为半正定时的情况。

11、  4.n阶对称矩阵A正定,则A的主对角线元素 ,且 。

12、  证明:(1)∵n阶对称矩阵A正定  ∴ 是正定二次型  现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入,有  ∴  ∴A正定  ∴存在可逆矩阵C ,使  5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零。

13、  证明:必要性:  设二次型 是正定的  对每个k,k=1,2,…,n,令  ,  现证 是一个k元二次型。

14、  ∵对任意k个不全为零的实数 ,有  ∴ 是正定的  ∴ 的矩阵  是正定矩阵  即  即A的顺序主子式全大于零。

15、  充分性:  对n作数学归纳法  当n=1时,  ∵ , 显然 是正定的。

16、  假设对n-1元实二次型结论成立,现在证明n元的情形。

17、  令 , ,  ∴A可分块写成  ∵A的顺序主子式全大于零  ∴ 的顺序主子式也全大于零  由归纳假设, 是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使  令  ∴  再令 ,  有  令 ,  就有  两边取行列式,则  由条件 得a>0  显然  即A合同于E ,  ∴A是正定的。

18、  三. 负定矩阵的一些判别方法  1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

19、  2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

20、  3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足  ,  即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零。

21、  由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略。

22、  四.半正定矩阵的一些判别方法  1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

23、  2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零。

24、  3. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零。

25、  注:3中指的是主子式而不是顺序主子式,实际上,只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的,例如:  矩阵 的顺序主子式 , , ,  但A并不是半正定的。

26、  关于半负定也有类似的定理,这里不再写出。

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