【几何平均数的公式】在统计学和数学中，几何平均数是一种常用的平均值计算方法，尤其适用于描述增长率、比率或变化率等数据。与算术平均数不同，几何平均数对极端值更不敏感，因此在处理比例数据时更为准确。
一、几何平均数的定义
几何平均数（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为数据个数）所得的结果。其核心思想是通过乘法来反映数据之间的相对变化，而不是简单的加法。
二、几何平均数的公式
设有一组正数 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，则它们的几何平均数 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}
$$
或者写成指数形式：
$$
G = (x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n)^{\frac{1}{n}}
$$
三、几何平均数的特点
| 特点 | 说明 |
| 适用于正数 | 几何平均数仅适用于所有数值均为正数的情况 |
| 受极端值影响小 | 相比于算术平均数，几何平均数对极大或极小值的敏感度较低 |
| 适合增长率计算 | 常用于计算投资回报率、人口增长等复合增长率 |
| 不能为零或负数 | 若有零或负数，则无法计算几何平均数 |
四、几何平均数的应用场景
| 场景 | 应用示例 |
| 投资回报率 | 计算多期投资的平均收益率 |
| 人口增长 | 分析人口年增长率 |
| 指数计算 | 如股票指数、经济指标等的平均变化 |
| 数据标准化 | 在某些数据分析中，用于消除量纲差异 |
五、几何平均数与算术平均数的区别
| 比较项 | 几何平均数 | 算术平均数 |
| 公式 | $ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n} $ | $ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $ |
| 敏感性 | 对极端值不敏感 | 对极端值敏感 |
| 适用范围 | 正数、比率、增长率 | 所有实数 |
| 结果大小 | 通常小于等于算术平均数 | 通常大于等于几何平均数 |
六、举例说明
假设某公司三年的利润增长率分别为：5%、10%、15%，那么这三年的平均增长率应使用几何平均数计算：
$$
G = \sqrt[3]{1.05 \times 1.10 \times 1.15} \approx \sqrt[3]{1.32825} \approx 1.10
$$
即年均增长率为约10%。
总结：几何平均数是一种适用于比例、增长率等数据的平均值计算方式，其公式简洁但意义深远。在实际应用中，理解其特点和适用范围有助于更准确地分析数据。