【威尔斯特拉斯函数】一、
威尔斯特拉斯函数是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出的，是第一个被正式构造出来的处处连续但处处不可导的函数。这一发现对数学的发展具有重要意义，挑战了当时人们对“连续”与“可导”之间关系的传统理解。
该函数的构造基于一个无穷级数，形式为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
$$
其中 $ 0 < a < 1 $，$ b $ 是一个奇整数，并且满足 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $。这种构造使得函数在任何一点上都保持连续性，但由于其高度震荡的特性，导致在任何点上都没有导数。
威尔斯特拉斯函数的提出，标志着非光滑分析和分形几何等领域的开端，也为后来的数学研究提供了新的视角。
二、表格展示
| 项目 | 内容 |
| 函数名称 | 威尔斯特拉斯函数 |
| 提出者 | 卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass） |
| 提出时间 | 19世纪 |
| 数学性质 | 处处连续，但处处不可导 |
| 数学表达式 | $ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) $ |
| 条件参数 | $ 0 < a < 1 $，$ b $ 为奇整数，且 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $ |
| 意义 | 打破了“连续即可导”的传统观念，推动了数学理论的发展 |
| 影响领域 | 非光滑分析、分形几何、实变函数论 |
| 典型特征 | 高度震荡，图形复杂，难以用传统微积分处理 |
三、结语
威尔斯特拉斯函数不仅是数学史上的一个重要里程碑，也展示了数学世界的复杂性和多样性。它提醒我们，即使在看似简单的连续函数中，也可能隐藏着令人意想不到的结构和行为。这一函数至今仍在数学教育和研究中占据重要地位。