【数学期望怎么求】在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念，它表示随机变量在大量重复试验中取值的平均结果。理解并掌握数学期望的计算方法，有助于我们在实际问题中做出更科学的决策。
一、什么是数学期望？
数学期望（Expected Value），记作 $ E(X) $ 或 $ \mu $，是描述一个随机变量长期趋势的数值指标。它反映了在所有可能的结果中，按照概率加权后的平均值。
二、数学期望的计算方式
数学期望的计算方法根据随机变量的类型不同而有所区别：
| 随机变量类型 | 计算公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) $ | 其中 $ x_i $ 是第 $ i $ 个可能的取值，$ P(x_i) $ 是对应的概率 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $ | 其中 $ f(x) $ 是概率密度函数 |
三、数学期望的性质
1. 线性性：对于任意两个随机变量 $ X $ 和 $ Y $，有
$$
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
$$
其中 $ a $ 和 $ b $ 是常数。
2. 常数的期望等于自身：
$$
E(c) = c
$$
3. 独立变量的期望乘积：若 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，则
$$
E(XY) = E(X) \cdot E(Y)
$$
4. 期望不满足可加性（非线性函数）：
$$
E(g(X)) \neq g(E(X))
$$
即对随机变量进行非线性变换后，期望不能直接通过原期望计算。
四、实际应用举例
例1：掷一枚均匀硬币
- 正面（H）：概率 0.5，对应值 1
- 反面（T）：概率 0.5，对应值 0
计算期望：
$$
E(X) = 1 \times 0.5 + 0 \times 0.5 = 0.5
$$
例2：掷一枚六面骰子
每个面的概率为 $ \frac{1}{6} $，点数分别为 1 到 6。
计算期望：
$$
E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6} = 3.5
$$
五、总结
数学期望是概率论中的基础概念，广泛应用于金融、统计、工程、人工智能等领域。掌握其计算方法和基本性质，有助于我们更好地理解和分析随机现象。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 随机变量的加权平均值 |
| 离散型 | $ E(X) = \sum x_i P(x_i) $ |
| 连续型 | $ E(X) = \int x f(x) dx $ |
| 性质 | 线性性、常数不变、独立变量乘积等 |
| 应用 | 风险评估、投资回报预测、数据建模等 |
如需进一步了解方差、协方差或条件期望等内容，可以继续深入学习概率论相关知识。