【什么是黎曼几何】黎曼几何是数学中研究非欧几里得空间的一种几何学，由德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）在19世纪中叶提出。它突破了传统欧几里得几何的限制，特别是在空间弯曲和曲面性质的研究上具有重要意义。黎曼几何不仅为广义相对论提供了数学基础，也在现代物理学、微分几何、拓扑学等领域广泛应用。
一、
黎曼几何是一种研究弯曲空间的几何理论，与传统的欧几里得几何不同，它允许空间本身具有曲率。在黎曼几何中，点、线、面等基本概念被重新定义，以适应更广泛的几何结构。该理论的核心思想是通过度量张量来描述空间的局部几何性质，从而能够处理如球面、双曲面等复杂形状的空间。
黎曼几何的提出标志着几何学从平面到三维甚至高维空间的转变，并成为现代物理尤其是爱因斯坦广义相对论的重要工具。
二、表格对比：欧几里得几何 vs 黎曼几何
| 特性 | 欧几里得几何 | 黎曼几何 |
| 空间类型 | 平面空间 | 曲面或高维流形 |
| 空间曲率 | 零曲率 | 可变曲率 |
| 直线定义 | 直线为最短路径 | 测地线为最短路径 |
| 平行公设 | 成立（过直线外一点有且仅有一条直线与原直线平行） | 不成立（存在多条或无平行线） |
| 应用领域 | 初等几何、工程、建筑 | 相对论、天体物理、计算机图形学 |
| 数学基础 | 欧几里得公理体系 | 黎曼度量、测地线、曲率张量 |
三、总结
黎曼几何是对传统欧几里得几何的扩展与深化，它提供了一种描述弯曲空间的方法，使得科学家和数学家能够研究更复杂的几何结构。无论是宇宙的结构还是计算机图形的渲染，黎曼几何都发挥着不可替代的作用。理解黎曼几何，有助于我们更深入地认识现实世界的几何本质。