【常用傅里叶变换公式表】傅里叶变换是信号处理、通信系统和物理分析中非常重要的工具，它能够将时域信号转换为频域表示，从而更方便地进行分析与处理。本文总结了一些常用的傅里叶变换对，便于查阅和应用。
一、傅里叶变换基本概念
傅里叶变换的基本形式如下：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
其逆变换为：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
其中，$ f(t) $ 是时域函数，$ F(\omega) $ 是对应的频域函数，$ j $ 是虚数单位。
二、常用傅里叶变换公式表
以下是一些常见的函数及其对应的傅里叶变换对：
| 时域函数 $ f(t) $ | 频域函数 $ F(\omega) $ | 备注 | ||
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | 冲激函数 | ||
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ | 常数函数 | ||
| $ e^{j\omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ | 复指数函数 | ||
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | 余弦函数 | ||
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | 正弦函数 | ||
| $ u(t) $ | $ \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega) $ | 单位阶跃函数 | ||
| $ e^{-at} u(t) $ (a > 0) | $ \frac{1}{a + j\omega} $ | 指数衰减函数 | ||
| $ e^{- | t | } $ | $ \frac{2}{1 + \omega^2} $ | 双边指数函数 |
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | 矩形脉冲函数 | ||
| $ \text{sinc}(t) $ | $ \pi \text{rect}\left( \frac{\omega}{2\pi} \right) $ | 抽样函数 |
三、说明与注意事项
1. 傅里叶变换的对称性：许多函数在时域和频域之间存在对称关系，如矩形函数与抽样函数互为傅里叶变换。
2. 周期性与非周期性：傅里叶变换适用于非周期信号，而傅里叶级数用于周期信号。
3. 频率变量：在实际应用中，常使用角频率 $ \omega $ 或频率 $ f $（$ \omega = 2\pi f $）。
4. 归一化问题：不同的教材或工程标准可能采用不同的归一化方式，需注意单位一致性。
四、总结
傅里叶变换是连接时域与频域的重要桥梁，掌握常用变换对有助于快速分析信号特性。本文整理了多种常见函数的傅里叶变换公式，可作为学习和实践中的参考工具。在实际应用中，还需结合具体场景选择合适的变换形式，并注意数学表达的准确性与物理意义的理解。