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1、实内积空间的情形： 　　注意到y = 0时不等式显然成立，所以可假设langle y,yangle非零。

2、对任意lambda in mathbb{R}，可知 　　0 leq langle x-lambda y,x-lambda y angle 　　= langle x-lambda y,x angle - lambda langle x-lambda y,y angle 　　= (langle x,xangle - lambda langle x,y angle)- lambda (langle x,y angle - lambda langle y,y angle) 　　= (|x|^2- lambda langle x,y angle)- lambda (langle x,y angle - lambda |y|^2)。

3、 　　现在取值lambda = langle x,y angle cdot |y|^{-2}，代入後得到 　　0 leq |x| ^2 - langle x,y angle^2 cdot |y|^{-2}。

4、 　　因此有 　　ig| langle x,y angle ig| leq |x| |y|。

5、 　　复内积空间的情形 　　证明类上。

6、对任意lambda in mathbb{C}，可知 　　0 leq langle x-lambda y,x-lambda y angle 　　= langle x-lambda y,x angle - overlinelambda langle x-lambda y,y angle 　　= (|x|^2 - lambda overline{langle x,y angle}) - overlinelambda (langle x,y angle - lambda |y |^2)。

7、 　　现在取值lambda = langle x,y angle cdot |y|^{-2}，代入後得到 　　0 leq |x|^2 - ig| langle x,y angle ig|^2 cdot |y|^{-2}， 　　因此有 　　ig| langle x,y angle ig| leq |x| |y|。

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