【四分位差怎么计算】四分位差（Interquartile Range，简称IQR）是统计学中用于衡量数据集中趋势和离散程度的重要指标之一。它表示中间50%数据的范围，能够有效反映数据的分布情况，尤其在处理存在异常值的数据时更具稳健性。
一、四分位差的定义
四分位差是指第三四分位数（Q3）与第一四分位数（Q1）之间的差值，公式如下：
$$
\text{IQR} = Q3 - Q1
$$
其中：
- Q1：将数据从小到大排列后，位于25%位置的数值；
- Q3：将数据从小到大排列后，位于75%位置的数值。
二、四分位差的计算步骤
1. 对原始数据进行排序
将所有数据按从小到大的顺序排列。
2. 确定Q1和Q3的位置
使用以下公式计算Q1和Q3的位置：
$$
\text{位置} = \frac{n + 1}{4} \quad (\text{用于Q1})
$$
$$
\text{位置} = \frac{3(n + 1)}{4} \quad (\text{用于Q3})
$$
其中，n为数据个数。
3. 找到对应的数值
如果位置是整数，则取该位置的数值；如果位置不是整数，则通过插值法计算。
三、示例计算
假设有一组数据：
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
1. 数据已排序：
12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40
2. 计算Q1和Q3的位置：
$$
n = 10
$$
$$
Q1 \text{位置} = \frac{10 + 1}{4} = 2.75
$$
$$
Q3 \text{位置} = \frac{3(10 + 1)}{4} = 8.25
$$
3. 插值计算Q1和Q3：
- Q1 = 第2项 + 0.75 × (第3项 - 第2项)
= 15 + 0.75 × (18 - 15) = 15 + 2.25 = 17.25
- Q3 = 第8项 + 0.25 × (第9项 - 第8项)
= 30 + 0.25 × (35 - 30) = 30 + 1.25 = 31.25
4. 计算IQR：
$$
IQR = 31.25 - 17.25 = 14
$$
四、四分位差的意义
- 描述数据的集中趋势：IQR越大，说明数据越分散；越小，说明数据越集中。
- 识别异常值：通常用IQR来判断异常值，如超出 $ Q1 - 1.5 \times IQR $ 或 $ Q3 + 1.5 \times IQR $ 的数据点可能为异常值。
- 适用于非正态分布数据：相比标准差，IQR对极端值不敏感，更适合处理偏态或有异常值的数据集。
五、总结表格
| 指标 | 定义 | 公式 | 用途 |
| 四分位差 | 第三四分位数之差 | IQR = Q3 - Q1 | 衡量数据离散程度 |
| 第一四分位数 (Q1) | 数据中25%位置的数值 | 位置 = (n+1)/4 | 表示下四分位数 |
| 第三四分位数 (Q3) | 数据中75%位置的数值 | 位置 = 3(n+1)/4 | 表示上四分位数 |
| 异常值判定 | 超出 Q1 - 1.5×IQR 或 Q3 + 1.5×IQR | - | 识别潜在异常数据点 |
六、结语
四分位差是一种简单而有效的数据分析工具，特别适合在数据分布不规则或存在异常值的情况下使用。掌握其计算方法有助于更准确地理解数据的分布特征，并为后续分析提供可靠依据。