【复合函数定义域的求法.】在数学中，复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。其定义域是所有能够使该复合函数有意义的自变量取值范围。正确求解复合函数的定义域，对于理解函数的整体性质和应用具有重要意义。
一、复合函数的基本概念
设函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是定义在实数集上的函数，则它们的复合函数可以表示为：
- $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
- $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
复合函数的定义域取决于内部函数的输出是否在外部函数的定义域范围内。
二、复合函数定义域的求法总结
| 步骤 | 操作说明 | 注意事项 |
| 1 | 确定内部函数的定义域 | 内部函数可能有自身的限制条件（如分母不为零、根号下非负等） |
| 2 | 将内部函数的输出作为外部函数的输入 | 外部函数对输入的范围有限制，需满足其定义域要求 |
| 3 | 联立两个条件，求交集 | 最终的定义域是内部函数定义域与外部函数输入允许范围的交集 |
| 4 | 若存在多个复合层次，按顺序处理 | 从内到外逐步分析，避免遗漏条件 |
三、示例解析
例1：
已知 $ f(x) = \sqrt{x} $，$ g(x) = x - 1 $，求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
- 步骤1：$ g(x) = x - 1 $ 的定义域是全体实数。
- 步骤2：将 $ g(x) $ 代入 $ f(x) $，得 $ f(g(x)) = \sqrt{x - 1} $
- 步骤3：要使根号内非负，即 $ x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 $
- 最终结果：定义域为 $ [1, +\infty) $
例2：
已知 $ f(x) = \frac{1}{x} $，$ g(x) = \sqrt{x} $，求 $ f(g(x)) $ 的定义域。
- 步骤1：$ g(x) = \sqrt{x} $ 的定义域为 $ x \geq 0 $
- 步骤2：$ f(g(x)) = \frac{1}{\sqrt{x}} $
- 步骤3：分母不能为零，因此 $ \sqrt{x} \neq 0 \Rightarrow x > 0 $
- 最终结果：定义域为 $ (0, +\infty) $
四、常见误区与注意事项
- 误区1：忽略内部函数的定义域，直接带入外部函数。
- 误区2：误将外部函数的定义域直接当作复合函数的定义域。
- 注意：若函数中有绝对值、指数、对数等特殊结构，应特别关注其定义域限制。
五、总结
复合函数的定义域求解需要从内到外逐层分析，结合每个函数的定义域限制，最终通过交集得到复合函数的有效输入范围。掌握这一方法有助于更深入地理解函数之间的关系，并在实际问题中灵活运用。