【大学微积分必背公式】微积分是大学数学中的重要基础课程，贯穿于物理、工程、经济等多个学科。掌握关键的微积分公式不仅有助于理解概念，还能在考试和实际应用中发挥重要作用。以下是对大学微积分中常见且必须掌握的公式的总结，结合表格形式进行归纳整理，便于记忆与查阅。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 不定积分 | ||
| $ f(x) = x^n $（$ n \neq -1 $） | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ f(x) = e^x $ | $ \int e^x dx = e^x + C $ | ||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | ||
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | ||
| $ f(x) = \sec^2 x $ | $ \int \sec^2 x dx = \tan x + C $ | ||
| $ f(x) = \csc^2 x $ | $ \int \csc^2 x dx = -\cot x + C $ |
三、常用微分法则
| 法则 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ (Cf(x))' = C f'(x) $ |
| 加法法则 | $ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $ |
| 乘积法则 | $ (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]’ = f’(g(x)) \cdot g’(x) $ |
四、积分技巧与特殊函数
| 积分方法 | 适用情况 | 示例 |
| 换元积分法 | 被积函数可表示为复合函数的形式 | $ \int \sin(2x) dx $ |
| 分部积分法 | 适用于乘积函数的积分 | $ \int x \cos x dx $ |
| 有理函数分解 | 分母可因式分解时使用 | $ \int \frac{1}{x^2 - 1} dx $ |
| 反三角函数积分 | 如 $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $ | |
| 三角代换 | 用于含根号的积分 | $ \int \sqrt{a^2 - x^2} dx $ |
五、泰勒展开与麦克劳林展开
| 函数 | 展开式（麦克劳林级数） | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $（$ | x | < 1 $） |
总结
微积分的学习离不开对基本公式的熟练掌握。上述内容涵盖了求导、积分、微分法则、积分技巧以及泰勒展开等核心知识点。建议在学习过程中反复练习相关题目，并结合图形理解其几何意义，以达到灵活运用的目的。掌握这些公式不仅能提升解题效率，也能为后续更复杂的数学问题打下坚实的基础。