【双曲线标准方程推导过程】在解析几何中，双曲线是一种重要的圆锥曲线，其标准方程的推导是理解双曲线性质的基础。本文将通过逐步推导的方式，展示双曲线的标准方程是如何由定义出发建立的。
一、双曲线的定义
双曲线是由平面上到两个定点（焦点）的距离之差为常数的所有点组成的集合。设两个焦点分别为 $ F_1(-c, 0) $ 和 $ F_2(c, 0) $，则双曲线上任意一点 $ P(x, y) $ 满足：
$$
$$
其中，$ 2a $ 是常数，表示双曲线的实轴长度的一半，而 $ c $ 是焦点到原点的距离。
二、推导过程
第一步：写出距离表达式
设点 $ P(x, y) $ 到两个焦点的距离分别为：
$$
PF_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}, \quad PF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}
$$
根据定义：
$$
$$
为了简化运算，假设 $ \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a $，不考虑绝对值符号（可通过对称性处理）。
第二步：移项并平方
$$
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 2a
$$
两边平方得：
$$
(x + c)^2 + y^2 = (x - c)^2 + y^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2
$$
化简左边与右边：
$$
x^2 + 2xc + c^2 + y^2 = x^2 - 2xc + c^2 + y^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2
$$
消去相同项后得到：
$$
4xc = 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2
$$
两边除以 4：
$$
xc = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + a^2
$$
整理得：
$$
xc - a^2 = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}
$$
第三步：再次平方
两边平方：
$$
(xc - a^2)^2 = a^2[(x - c)^2 + y^2
$$
展开左边：
$$
x^2c^2 - 2a^2xc + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)
$$
展开右边：
$$
a^2x^2 - 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2
$$
比较两边：
$$
x^2c^2 - 2a^2xc + a^4 = a^2x^2 - 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2
$$
消去相同项：
$$
x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2
$$
移项整理：
$$
x^2c^2 - a^2x^2 - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4
$$
提取公因式：
$$
x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)
$$
两边同时除以 $ a^2(c^2 - a^2) $：
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1
$$
令 $ b^2 = c^2 - a^2 $，得到双曲线的标准方程：
$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
三、总结
以下是双曲线标准方程推导的关键步骤和公式总结：
| 步骤 | 内容 | 公式 | ||
| 1 | 双曲线定义 | $ | PF_1 - PF_2 | = 2a $ |
| 2 | 距离表达式 | $ PF_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} $，$ PF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2} $ | ||
| 3 | 移项并平方 | $ \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 2a $ | ||
| 4 | 化简并平方 | $ xc - a^2 = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} $ | ||
| 5 | 最终化简 | $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中 $ b^2 = c^2 - a^2 $ |
通过以上推导，我们得到了双曲线的标准方程形式。该方程揭示了双曲线的基本几何特性，并为后续研究其性质（如渐近线、焦点等）奠定了基础。