【复合函数求导公式什么】在微积分中，复合函数的求导是极为重要的内容之一。复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。为了求出这种函数的导数，我们需要使用“链式法则”（Chain Rule）。以下是关于复合函数求导公式的总结。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入。例如：
- 设 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y $ 是关于 $ x $ 的复合函数，记作 $ y = f(g(x)) $。
在这种情况下，求 $ y $ 对 $ x $ 的导数时，不能直接对 $ f(u) $ 求导，而是需要考虑中间变量 $ u $ 的变化。
二、复合函数求导公式
根据链式法则，复合函数的导数公式如下：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
外层函数的导数乘以内层函数的导数
三、常见复合函数求导示例
| 复合函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ y = f(g(x)) $ | $ y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 链式法则基本形式 |
| $ y = [g(x)]^n $ | $ y' = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x) $ | 幂函数的复合导数 |
| $ y = e^{g(x)} $ | $ y' = e^{g(x)} \cdot g'(x) $ | 指数函数的复合导数 |
| $ y = \ln(g(x)) $ | $ y' = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) $ | 对数函数的复合导数 |
| $ y = \sin(g(x)) $ | $ y' = \cos(g(x)) \cdot g'(x) $ | 三角函数的复合导数 |
四、注意事项
1. 顺序不可颠倒：必须先对最外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
2. 多层复合函数：如果有多个嵌套函数，如 $ y = f(g(h(x))) $，则需逐层应用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)
$$
3. 熟练掌握基础导数：如多项式、指数、对数、三角函数等的导数，是应用链式法则的基础。
五、总结
复合函数的求导是微积分中的核心技能之一，其关键在于理解链式法则的应用。通过掌握不同类型的复合函数及其对应的导数公式，可以更高效地解决实际问题。建议在学习过程中多做练习题，逐步提升对复合函数导数的理解与运用能力。
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