欧几里得算法证明（欧几里得算法）

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1、辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最大公因数,是指几个数的共有的因数之中最大的一个,例如 8 和 12 的最大公因数是 4,记作 gcd(8,12)= 在介绍这个方法之前,先说明整除性的一些特点,注以下文的所有数都是正整数,以后不再重覆. 我们可以这样给出整除以的定义: 对於两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数. 那麼如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数. 由此,我们可以得出以下一些推论: 推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb. 推论二:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把二式相减可得 a | (b-c). 推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b. 辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下: 如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r). 证明是这样的: 设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r) 则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论一及推论二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b 又 b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因为 a | b 并且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r). 例如计算 gcd(546, 429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此 gcd(546, 429) =gcd(429, 117) =gcd(117, 78) =gcd(78, 39) =39#include<stdio.h> void main() { int a,b,num,num1,temp; printf("input two numbers please!"); scanf("%d,%d",&a,&b); if(num>=num1) { temp=num;num=num1;num1=temp;} while(b!=0) { temp=a%b;a=b;b=temp;} printf("最大公约数：%d",a); printf("最小公倍数：%d",num*num1/a);。

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