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arctanx定义域求解步骤

2025-08-10 09:39:44

问题描述:

arctanx定义域求解步骤,有没有人理理我呀?急死啦!

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2025-08-10 09:39:44

arctanx定义域求解步骤】在数学中,反三角函数是常见的函数类型之一,其中 arctanx(反正切函数) 是一个重要的函数。了解其定义域对于正确使用和理解该函数至关重要。本文将总结 arctanx 的定义域及其求解步骤,并以表格形式清晰展示。

一、arctanx 定义域的理论基础

arctanx 是 tanx 的反函数,即:

$$

y = \arctan x \quad \text{当且仅当} \quad x = \tan y

$$

由于正切函数 $ \tan y $ 在区间 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 内是单调递增且连续的,因此其反函数 arctanx 的定义域为所有实数,即:

$$

x \in \mathbb{R}

$$

也就是说,arctanx 的定义域是全体实数,没有限制。

二、arctanx 定义域求解步骤

以下是求解 arctanx 定义域的具体步骤:

步骤 操作说明
1 确定原函数:arctanx 是 tanx 的反函数,因此需考虑 tanx 的定义域与值域。
2 分析 tanx 的定义域:tanx 在 $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $(k 为整数)时有定义。
3 确定 tanx 的值域:tanx 的值域为全体实数 $ \mathbb{R} $。
4 因此,arctanx 的定义域就是 tanx 的值域,即 $ \mathbb{R} $。
5 结论:arctanx 的定义域为所有实数。

三、总结

通过上述步骤可以看出,arctanx 的定义域是全体实数,这意味着无论 x 取何实数值,arctanx 都有定义。这与一些其他反三角函数(如 arcsinx 和 arccosx)不同,它们的定义域受到一定限制。

四、表格总结

函数名称 定义域 值域 备注
arctanx $ \mathbb{R} $ $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ 所有实数均可输入
arcsinx $ [-1, 1] $ $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ 仅限于 [-1, 1]
arccosx $ [-1, 1] $ $ [0, \pi] $ 仅限于 [-1, 1]

通过以上分析,我们明确了 arctanx 的定义域为全体实数,并掌握了其求解步骤。这对于后续学习反三角函数的图像、性质及应用具有重要意义。

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