【arctanx定义域求解步骤】在数学中,反三角函数是常见的函数类型之一,其中 arctanx(反正切函数) 是一个重要的函数。了解其定义域对于正确使用和理解该函数至关重要。本文将总结 arctanx 的定义域及其求解步骤,并以表格形式清晰展示。
一、arctanx 定义域的理论基础
arctanx 是 tanx 的反函数,即:
$$
y = \arctan x \quad \text{当且仅当} \quad x = \tan y
$$
由于正切函数 $ \tan y $ 在区间 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 内是单调递增且连续的,因此其反函数 arctanx 的定义域为所有实数,即:
$$
x \in \mathbb{R}
$$
也就是说,arctanx 的定义域是全体实数,没有限制。
二、arctanx 定义域求解步骤
以下是求解 arctanx 定义域的具体步骤:
步骤 | 操作说明 |
1 | 确定原函数:arctanx 是 tanx 的反函数,因此需考虑 tanx 的定义域与值域。 |
2 | 分析 tanx 的定义域:tanx 在 $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $(k 为整数)时有定义。 |
3 | 确定 tanx 的值域:tanx 的值域为全体实数 $ \mathbb{R} $。 |
4 | 因此,arctanx 的定义域就是 tanx 的值域,即 $ \mathbb{R} $。 |
5 | 结论:arctanx 的定义域为所有实数。 |
三、总结
通过上述步骤可以看出,arctanx 的定义域是全体实数,这意味着无论 x 取何实数值,arctanx 都有定义。这与一些其他反三角函数(如 arcsinx 和 arccosx)不同,它们的定义域受到一定限制。
四、表格总结
函数名称 | 定义域 | 值域 | 备注 |
arctanx | $ \mathbb{R} $ | $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ | 所有实数均可输入 |
arcsinx | $ [-1, 1] $ | $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ | 仅限于 [-1, 1] |
arccosx | $ [-1, 1] $ | $ [0, \pi] $ | 仅限于 [-1, 1] |
通过以上分析,我们明确了 arctanx 的定义域为全体实数,并掌握了其求解步骤。这对于后续学习反三角函数的图像、性质及应用具有重要意义。