【一元二次不等式怎么解】一元二次不等式是初中到高中数学中常见的问题，通常形式为 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $（其中 $ a \neq 0 $）。正确求解这类不等式需要结合二次函数的图像、判别式的符号以及不等式的方向来判断。以下是解一元二次不等式的步骤总结。
解题步骤总结
1. 整理不等式：将不等式化为标准形式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 或 $ ax^2 + bx + c < 0 $。
2. 求根：计算对应的二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根，使用求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $。
3. 判断判别式：
- 若 $ \Delta > 0 $：有两个不同的实数根；
- 若 $ \Delta = 0 $：有一个实数根（重根）；
- 若 $ \Delta < 0 $：无实数根。
4. 画图分析：根据二次函数的开口方向（由 $ a $ 决定）和根的位置，画出大致图像。
5. 确定解集：根据不等式的方向和图像，确定满足条件的区间。
不等式解法对比表
| 不等式形式 | 判别式 Δ | 根的情况 | 开口方向 | 解集范围 |
| $ ax^2 + bx + c > 0 $ | Δ > 0 | 两个不同实根 | a > 0 | $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $ |
| a < 0 | $ (x_1, x_2) $ | |||
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | Δ > 0 | 两个不同实根 | a > 0 | $ (x_1, x_2) $ |
| a < 0 | $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $ | |||
| $ ax^2 + bx + c > 0 $ | Δ = 0 | 一个实根 | a > 0 | $ (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty) $ |
| a < 0 | 无解 | |||
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | Δ = 0 | 一个实根 | a > 0 | 无解 |
| a < 0 | $ (-\infty, x_0) \cup (x_0, +\infty) $ | |||
| $ ax^2 + bx + c > 0 $ | Δ < 0 | 无实根 | a > 0 | 全体实数 |
| a < 0 | 无解 | |||
| $ ax^2 + bx + c < 0 $ | Δ < 0 | 无实根 | a > 0 | 无解 |
| a < 0 | 全体实数 |
注意事项
- 当 $ a = 0 $ 时，原式不再是二次不等式，应转化为一次不等式处理。
- 在书写解集时，注意区间的开闭情况，尤其是当不等式包含“等于”时。
- 图像法是一种直观的方法，但实际考试中更常用代数方法进行判断。
通过以上步骤和表格，可以系统地掌握一元二次不等式的解法，避免混淆和错误。建议多做练习题以熟悉各种情况下的解题思路。